Qhov txawv ntawm Riemann Integral thiab Lebesgue Integral

2024 Tus sau: Alex Aldridge | [email protected]. Kawg hloov kho: 2023-12-17 13:40

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Kev sib koom ua ke yog lub ntsiab lus tseem ceeb hauv kev suav lej. Hauv kev nkag siab zoo, kev sib koom ua ke tuaj yeem pom tias yog tus txheej txheem rov qab ntawm kev sib txawv. Thaum tsim cov teeb meem tiag tiag hauv ntiaj teb, nws yooj yim los sau cov kab lus hais txog cov khoom siv. Nyob rau hauv cov xwm txheej zoo li no, kev ua haujlwm sib koom ua ke yuav tsum tau nrhiav kev ua haujlwm, uas tau muab cov txiaj ntsig tshwj xeeb.

Los ntawm lwm lub kaum sab xis, kev sib koom ua ke yog txheej txheem, uas suav txog cov khoom lag luam ƒ(x) thiab δx, qhov twg δx nyhav rau qee qhov txwv. Vim li no, peb siv lub cim kev koom ua ke ua ∫. Lub cim ∫ yog qhov tseeb, qhov peb tau txais los ntawm kev ncab tsab ntawv s mus rau cov lej.

Riemann Integral

Xav txog qhov ua haujlwm y=ƒ(x). Qhov sib piv ntawm y ntawm a thiab b, qhov twg a thiab b belongs rau lub teeb x, yog sau li _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Qhov no yog hu ua ib qho tseem ceeb ntawm ib qho tseem ceeb thiab txuas ntxiv ua haujlwm y=ƒ(x) ntawm a thiab b. Qhov no muab cov cheeb tsam hauv qab qhov nkhaus ntawm a thiab b. Qhov no tseem hu ua Riemann integral. Riemann ib txwm yog tsim los ntawm Bernhard Riemann. Riemann ib qho tseem ceeb ntawm kev ua haujlwm tas mus li yog raws li kev ntsuas Jordan, yog li ntawd, nws kuj tseem txhais tau tias yog qhov txwv ntawm Riemann sums ntawm txoj haujlwm. Rau qhov muaj nuj nqis tiag tiag uas tau teev tseg rau ntawm lub sijhawm kaw, Riemann qhov tseem ceeb ntawm kev ua haujlwm nrog rau kev faib x₁, x₂, …, x n _{txhais ntawm lub sijhawm [a, b] thiab t}1_{, t}2_{, …, t n}, qhov twg x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 rau txhua tus i ε {1, 2, …, n}, Riemann sum txhais tau tias yog Σ_{i=o rau n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue yog lwm hom kev sib koom ua ke, uas suav nrog ntau qhov xwm txheej ntau dua li Riemann ib txwm ua. Lub lebesgue integral tau qhia los ntawm Henri Lebesgue nyob rau hauv 1902. Legesgue kev koom ua ke yuav suav hais tias yog ib tug generalization ntawm Riemann kev koom ua ke.

Vim li cas peb yuav tsum kawm lwm qhov tseem ceeb?

Cia peb xav txog tus yam ntxwv muaj nuj nqi ƒ_{A (x)=}{_{0 yog, x not ε A}^{1 Yog tias, x ε A} ntawm lub teeb A. Ces finite linear ua ke ntawm cov yam ntxwv ua haujlwm, uas txhais tau tias F (x)=Σ a _{i ƒ E} i_{(x) yog hu ua txoj haujlwm yooj yim yog E} i _{ntsuas tau rau txhua i. Lub Lebesgue qhov tseem ceeb ntawm F (x) dhau E yog qhia los ntawm} E_{∫ ƒ(x)dx. Txoj haujlwm F (x) tsis yog Riemann sib koom ua ke. Yog li Lebesgue integral yog rov hais dua Riemann ib txwm muaj, uas muaj qee qhov kev txwv ntawm kev ua haujlwm kom ua ke.}

Qhov txawv ntawm Riemann Integral thiab Lebesgue Integral yog dab tsi?

· Lub Lebesgue integral yog ib daim ntawv qhia dav dav ntawm Riemann integral.

· Lub Lebesgue qhov tseem ceeb tso cai rau suav tsis txheeb ntawm qhov tsis sib xws, thaum Riemann ib txwm tso cai rau tus lej ntawm qhov tsis sib xws.